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    2014年數學建模暑期練習題

    1. 食品廠用三種原料生產兩種糖果,糖果的成分要求和銷售價見表1。

    表1 糖果有關數據 原料A 原料B 原料C 價格(元/kg) 高級奶糖 ≥50% ≥25% ≤10% 24 水果糖 ≤40% ≤40% ≥15% 15

    各種原料的可供量和成本見表2。

    表2 各種原料數據 原料 可供量(公斤) 成本(員/公斤) A 500 20 B 750 12 C 625 8

    該廠根據訂單至少需要生產600公斤高級奶糖,800公斤水果糖,為求最大利潤,試建立線性規劃模型并求解。

    2.某商業公司計劃開辦5家新商店。為了盡早建成營業,商業公司決定由5家建筑公司分別承建。已知建筑公司Ai(i?1,2,3,4,5)對新商店Bj(j?1,2,3,4,5)的建造費用的報價(萬元)為cij(i,j?1,2,3,4,5),見表3。商業公司應當對5家建筑公司怎樣分配建造任務,才能使總的建造費用最少?

    表3 各建筑公司的建筑費用數據 B1 B2 B3 B4 A1 4 8 7 15 A2 7 9 17 14 A3 6 9 12 8 A4 6 7 14 6 A5 6 9 12 10 B5 12 10 7 10 6

    3.上海醫科大學病理生理教研室曾做過小鼠肉瘤的增長實驗,并得到了如表4所示的數據。

    表4 小鼠肉瘤的實驗數據 時 0 6 9 11 13 15 17 19 間 21 23 25 27 體0.004 0.031 0.061 0.074 0.103 0.152 0.210 0.339 積 0.520 0.813 1.269 1.558 (1)若t時刻腫瘤的體積v(t)滿足指數模型

    ?dv??rv

    ?dt

    ??v(0)?v0

    請擬合參數r。

    (2)若t時刻腫瘤的體積v(t)滿足Logistic模型

    ?dv2???v??v ?dt??v(0)?v0請擬合參數?,?。

    4.已知數據見表5。試求y對x1,x2,x3的線性回歸方程并檢驗回歸效果,能否剔除一個變量?

    表5 回歸分析數據 序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 0.4 0.4 3.1 0.6 4.7 1.7 9.4 10.1 11.6 x2 53 23 19 34 24 65 44 31 29 x3 158 163 37 157 59 123 46 117 173 y 序號 10 11 12 13 14 15 16 17 18 64 60 71 61 54 77 81 93 93 x1 12.6 10.9 23.1 23.1 21.6 23.1 1.9 26.8 29.9 x2 58 37 46 50 44 56 36 58 51 x3 112 111 114 134 73 168 143 202 124 y 51 76 96 77 93 95 54 168 99 5.煉鋼廠出鋼時所用的盛鋼水的鋼包,由于鋼水對耐火材料的侵蝕作用,隨著使用次數的增加,容積不斷增大,實測得到15組數據如表6。 表6 出鋼數據 使用次數2 3 4 5 6 7 8 9 x 增大容積6.7 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.96 9.99 y 使用次數x 增大容積y 試分別按以下兩種形式建立y對x的回歸方程,畫出散點圖和回歸曲線,并根據適當的指標判斷哪一種好。

    10 11 12 10.6 13 10.8 14 10.6 15 10.9 16 10.76 10.49 10.59 (1)

    1b?a?; yxbx(2)y?ce.

    6.已知數據見表7。

    表7 已知數據表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y 3.6 7.5 10.7 12.7 13.1 12.5 11.3 10.7 11.8 15.4 22.2 3.6 試求形式為y?a0?a1x2?a2x3?a3sinx的回歸方程并檢驗回歸效果。

    7.一枚導彈,以初始速度v0,水平夾角?離開原點(0,0)。如果導彈在(xe,ye)點著陸,且在飛行中受到一拉力,其大小和速度的平方成比例,那么控制導彈飛行軌跡的四個一階方程為

    ?dvx22??cv?vdxy?dx?22?dvyg?cdvyvx?vy???dxvx? ??dy?vy?dxvx??dt1?dx?vx?其中y是導彈的垂直高度,x是飛行的水平距離,t是時間,vx和vy分別是速度v的水平和垂直分量,cd是拉力系數,g是重力加速度。這些方程僅當v0足夠大且vx大于零時才有效。初始條件為

    vxt?0?v0cos?,vyt?0?v0sin?,yt?0?0

    (1)當v0?600f/s,cd?0.002,??45?時,畫出導彈到達ye?0前的飛行軌跡。

    (2)求導彈的最大上升高度及出現這一高度時的飛行距離。

    (3)求ye?0時的值及到達這一點時所需的時間。

    8.1989年度西山礦務局五個生產礦井實際資料如表8所示,請對西山礦務局五個生產礦井1989年的企業經濟效益進行綜合評價。

    表8 1989年度西山礦務局五個生產礦井技術經濟指標實現值 指 標 白家莊杜爾坪礦 西銘礦 官地礦 西曲礦 礦 原煤成本 99.89 103.69 97.42 101.11 97.21 原煤利潤 96.91 124.78 66.44 143.96 88.36 原煤產量 102.63 101.85 104.39 100.94 100.64 原煤銷售量 98.47 103.16 109.17 104.39 91.90 商品煤灰分 87.51 90.27 93.77 94.33 85.21 全員效率 108.35 106.39 142.35 121.91 158.61 流動資金周轉天71.67 137.16 97.65 171.31 204.52 數 資源回收率 103.25 100 100 99.13 100.22 百萬噸死亡率 171.2 51.35 15.90 53.72 20.78 9.友誼農場有3萬畝農田,欲種植玉米、大豆和小麥三種農作物。各種作物每畝需施化肥分別為0.12噸、0.20噸、0.15噸。預計秋后玉米每畝可收獲500千克,售價為0.24元/千克,大豆每畝可收獲200千克,售價為1.20元/千克,小麥每畝可收獲350千克,售價為0.70元/千克。農場年初規劃時考慮如下幾個方面。

    (1)年終收益不低于350萬元; (2)總產量不低于1.25萬噸; (3)小麥產量以0.5萬噸為宜; (4)大豆產量不少于0.2萬噸; (5)玉米產量不超過0.6萬噸;

    (6)農場現能提供5000噸化肥;若不夠,可在市場高價購買,但希望高價采購量愈少愈好。

    試就該農場生產計劃建立數學模型。 10.設有9個節點Ai(i?1,?,9),他們的坐標分別為(xi,yi),具體數據見表9。任意兩個節點之間的電纜長度為

    dij?|xi?xj|?|yi?yj|

    問怎樣連接電纜,使每個節點都連通,且所用的總電纜長度為最短?

    表9 點的坐標數據表 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi yi 0 15 5 20 16 24 20 20 33 25 23 11 35 7 25 0 10 3 11.最廉價飛機線路的選擇

    北京的一科技公司由于業務的需要,其總經理每周要往返于總公司與各個子公司之間,其出行所乘坐的交通工具是飛機,各個城市間的飛機線路,及票價如下表

    城市 北京 天津 南京 青島 上海 廣州 深圳 西安 武漢 天津 南京 青島 上海 廣州 深圳 西安 武漢 杭州 50 INF 40 25 10 12 14 INF 15 0 15 20 INF 25 20 INF 17 16 15 0 10 20 INF INF 26 28 INF 20 10 0 10 25 32 22 18 21 INF 20 10 0 55 16 INF 21 24 25 INF 25 55 0 17 24 INF 25 20 INF 32 16 17 0 16 27 18 INF 26 22 INF 24 16 0 18 19 28 18 21 INF 27 18 0 20 INF 17 16 INF 21 24 25 18 19 20 0 杭州 15 (注:數字代表價格,INF表示城市之間沒有線路。) 問怎樣才能算出一張任意城市間的最廉價路線表。 12.選址問題

    已知某地區的交通網絡如圖8-37所示,其中點代表居民小區,邊代表公路,邊上的數字為小區間公路距離(單位:千米),各個小區的人數如表10所示,問區中心醫院應建在哪個小區,可使離醫院最遠的小區居民人均就診時所走的路程最近?

    v5 60v3 3020 v4

    202518

    301515v2v6v 1v7

    表10 各個小區的人數 小區 1 2 3 4 5 6 7 人數 5359 8960 9600 7890 6731 7694 8136 13. 高速公路修建費用問題 A城和B城之間準備建一條高速公路,B城位于A城正南90公里和正東120公里交匯處,它們之間有東西走向連綿起伏的山脈。公路造價與地形特點有關,如圖給出了整個地區的大致地貌情況,

    北京 0 50 INF 40 25 10 12 14





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